Question

10．如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=$\frac{π}{2}$，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=$\sqrt{2}$，CE=2，AC=$\frac{3}{2}$．
（1）证明：DE⊥平面PCD
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PC⊥DE，CD⊥DE，由此能证明DE⊥平面PCD．
（2）以C为原点，分别以$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CP}$为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）由PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，故PC⊥DE，
由CE=2，CD=DE=$\sqrt{2}$，得△CDE为等腰直角三角形，
故CD⊥DE，
∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，
∴DE⊥平面PCD．  …（4分）
解：（2）以C为原点，分别以$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CP}$为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0，），P（0，0，3），A（$\frac{3}{2}$，0，0），D（1，1，0），…（5分）
$\overrightarrow{ED}=（1，-1，0）$，$\overrightarrow{DP}=（-1，-1，3）$，$\overrightarrow{DA}=（\frac{1}{2}，-1，0）$，
设平面PAD的法向量${\overrightarrow n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
由$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DP}=0$和$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DA}=0$
得$\left\{{\begin{array}{l}{-{x_1}-{y_1}-3{z_1}=0}\\{\frac{1}{2}{x_1}-{y_1}=0}\end{array}}\right.$，故可取$\overrightarrow{n_1}=（2，1，1）$…（8分）
由（1）可知DE⊥面PCD，故面PCD的法向量$\overrightarrow{n_2}$可取为$\overrightarrow{ED}$，即$\overrightarrow{n_2}=（1，-1，0）$…（10分）
从而法向量$\overrightarrow{n_1}$，$\overrightarrow{n_2}$的夹角的余弦值为$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{\overrightarrow{|{n_1}}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
故所求二面角A-PD-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．