Question

5．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2015年12月份星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：

时间	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日
车流量x（万辆）	1	2	3	4	5	6	7
PM2.5的浓度y （微克/立方米）	27	31	35	41	49	56	62

（1）在表中画出车流量与PM2.5浓度的散点图．
（2）求y关于x的线性回归方程；
（3）①利用所求回归方程，预测该市车流量为8万辆时，PM2.5的浓度；
②规定当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量等级为优或良，则应控制当天车流量在多少万辆以内（结果以万辆为单位，保留整数）
参考公式：回归直线的方程是$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，其中$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）利用描点法可得数据的散点图；
（2）根据公式求出b，a，可写出线性回归方程；
（3）①根据（2）的性回归方程，代入x=8求出PM2.5的浓度；
②由$\frac{169}{28}$x+$\frac{132}{7}$，≤100，解得x的取值范围．

解答 解：画出车流量和PM2.5浓度的散点图；

（2）由数据可得：$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（27+31+35+41+49+56+62）=43，∧
$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=1373，$\sum_{i=1}^{7}{x}_{i}{y}_{i}$=140，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{1373-1204}{140-112}$=$\frac{169}{28}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\frac{132}{7}$，
故y关于x的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{169}{28}$x+$\frac{132}{7}$，
（3）①当车流量为8万辆时，即x=8时，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{169}{28}$×8+$\frac{132}{7}$=$\frac{470}{7}$，
故车流量为8万辆时，PM2.5的浓度$\frac{470}{7}$，
②根据题意信息$\frac{169}{28}$x+$\frac{132}{7}$≤100，
即当x≤13.44时，
所要使该市某日空气质量为优活为良，则应控制当天车流量在13万辆以内．

点评 本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力，属于中档题．