Question

1．若函数f（x）=x²+aln（x+1）在（-1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a≥-2x²-2x在（-1，+∞）恒成立，令g（x）=-2x²-2x，（x＞-1），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=2x+$\frac{a}{x+1}$=$\frac{{2x}^{2}+2x+a}{x+1}$，
若函数f（x）=x²+aln（x+1）在（-1，+∞）上是增函数，
则2x²+2x+a≥0在（-1，+∞）恒成立，
即a≥-2x²-2x在（-1，+∞）恒成立，
令g（x）=-2x²-2x，（x＞-1），
g（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$）递增，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）递减，
故g（x）的最大值是g（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
故a≥$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．