Question

【题目】如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是的中点，点E，F分别落在线段上．已知，记．

（1）试将污水管道的长度表示为的函数，并写出定义域；

（2）已知，求此时管道的长度l；

（3）当取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当时，l取到最小值

【解析】

（1）由∠BHE＝θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L＝EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．

（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．

（3）设sinθ+cosθ＝t得，利用角的范围结合三角函数性质求得t的范围，再利用的单调性求最值即可

（1）由题，，

由于，，

，

（2）当时，，

；

（3）

设sinθ+cosθ＝t则

由于，所以

因为在内单调递减，于是当时．L的最小值米．

答：当时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为米