Question

7．圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ²（1+sin²θ）=2．
（1）以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，及曲线C的参数方程；
（2）直线l的极坐标方程为$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R），若曲线C上的点M到直线l的距离最大，求点M的坐标（直角坐标和极坐标均可）．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式可得直角坐标方程以及曲线C的参数方程即可；
（2）根据直线l的极坐标方程（ρ∈R），可得直线l的直角坐标方程，曲线C的参数方程，利用点到直线的距离公式可得：M到直线的距离d，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，
得曲线C直角坐标方程：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
则曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$    （α为参数）              
（Ⅱ）直线l直角坐标方程：y=$\sqrt{3}$x，
曲线C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
设直线m：y=$\sqrt{3}$x+t，
即直线m与曲线C相切时，切点M到直线l的距离最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得7x²+4$\sqrt{3}$tx+2t²-2=0，
△=48t²-56（t²-1）=0，
解得：t=±$\sqrt{7}$，x=±$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
所以M（$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，-$\frac{\sqrt{7}}{7}$）或M（-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，$\frac{\sqrt{7}}{7}$）．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．