题目内容
16．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12．直线l过点$（-2\sqrt{2}，0）$．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；
（Ⅱ）求曲线C的内接矩形的周长的最大值．
分析 （Ⅰ）根据题意，将曲线C的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m的值，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，可得t2-2t-2=0，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；
（Ⅱ）写出曲线C的参数方程，分析可得以P为顶点的内接矩形周长l=$4×（{2\sqrt{3}cosθ+2sinθ}）=16sin（{θ+\frac{π}{3}}）（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$，由正弦函数的性质分析可得答案．
解答 解：（Ⅰ）根据题意，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，
则其标准方程为 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，其左焦点为$（{-2\sqrt{2}，0}）$，
直线l过点$（-2\sqrt{2}，0）$，其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），
则$m=-2\sqrt{2}$，
将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-2\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$与曲线C的方程 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$联立，
得t2-2t-2=0，
则|FA|•|FB|=|t1t2|=2．
（Ⅱ）由曲线C的方程为 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，
可设曲线C上的动点$P（{2\sqrt{3}cosθ，2sinθ}）$，
则以P为顶点的内接矩形周长l=$4×（{2\sqrt{3}cosθ+2sinθ}）=16sin（{θ+\frac{π}{3}}）（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$，
又由sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤1，则l≤16；
因此该内接矩形周长的最大值为16．
点评 本题考查椭圆、直线的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程．
已知函数$f（x）=2sin{（ωx+φ）_{\;}}（ω＞0，|φ|≤\frac{π}{2}）$的图象如图．| A． | 2 | B． | 8 | C． | 16 | D． | 18 |
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{2}{9}$ | D． | $\frac{4}{9}$ |