Question

数列{a_n}满足a₁＞1，a_n+1-1=a_n（a_n-1），（n∈N⁺），且

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2012

=2，则a₂₀₁₃-4a₁的最小值为______．

Answer 1

a₁＞1，由a_n+1-1=a_n（a_n-1），（n∈N₊）知，对所有n，a_n＞1，
等式两边取倒数，得

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，得，

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，
则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2012

=

1

a1

-

1

a2013

=2
整理可得，a₂₀₁₃=

2-a1

3-2a1

，
a₂₀₁₃-4a₁=2（3-2a₁）+

1

2(3-2a1)

-

11

2

≥2

(3-2a1) 1 3-2a1

-

11

2

=-

7

2

．
则a₂₀₁₃-4a₁的最小值为 -

7

2

．
故答案为：-

7

2

．