Question

5．设函数f（x）=ax-（a+1）lnx-a（a＞0）
（1）求f（x）的单调区间
（2）当$x=\frac{1}{a}+1$时，证明：$ln（{\frac{1}{a}+1}）＞\frac{1}{1+a}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）当$x=\frac{1}{a}+1$（x＞1），即有a=$\frac{1}{x-1}$，可得ln（1+$\frac{1}{a}$）-$\frac{1}{1+a}$=lnx-$\frac{x-1}{x}$，设g（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$，（x＞1），求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=a-$\frac{a+1}{x}$=$\frac{ax-（a+1）}{x}$，（a＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a+1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{a+1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{a+1}{a}$）递减，在（$\frac{a+1}{a}$，+∞）递增；
（2）证明：当$x=\frac{1}{a}+1$（x＞1），即有a=$\frac{1}{x-1}$，
可得ln（1+$\frac{1}{a}$）-$\frac{1}{1+a}$=lnx-$\frac{x-1}{x}$，
设g（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$，（x＞1），
导数g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，
可得g（x）在（1，+∞）递增，
可得g（x）＞g（1）=0，
则lnx＞$\frac{x-1}{x}$，
即有$ln（{\frac{1}{a}+1}）＞\frac{1}{1+a}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，考查不等式的证明，注意运用构造函数和判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．