Question

已知函数f（x）=x²+2x-3
（1）指出图象开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
（2）画出函数图象，并说明图象是由f（x）=x²经过怎样的平移得到；
（3）求f（2）、f（

1

x

）；
（4）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

考点：函数图象的作法,函数单调性的判断与证明,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用二次函数的表达式确定．（2）通过配方得到函数f（x）=x）²的图象关系．
（3）代入求值即可．（4）结合图象确定函数的单调区间，并利用定义证明．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4，∵a=1＞0，所以开口向上，顶点坐标为（-1，-4），
（2）图象如图所示，其图象由y=x²的图象向左平移一个单位，再向下平移四个单位得到；
（3）f（2）=2²+2×2-3=5，f（

1

x

）=

1

x2

+

2

x

-3，
（4）由图象可知，函数f（x）在（-∞，-1）上的单调递减．
设x₁＜x₂∈（-∞，-1），
则f（x₁）-f（x₂）=x₁²+2x₁-3-x₂²-2x₂+3=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂+2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）在（-∞，-1）上的单调递减．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握二次函数的图象和性质．