Question

8．点P在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支上，其左右焦点分别为F₁，F₂，直线PF₁与以坐标原点O为圆心a为半径的圆相切于点A，线段PF₁的垂直平分线恰好过点F₂，则$\frac{{S}_{△O{F}_{2}A}}{{S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{2}{9}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 由题意，线段PF₁的垂直平分线恰好过点F₂，垂足为D，则y_D=2y_A=$\frac{1}{2}$y_P，y_A=$\frac{1}{4}$y_P，由$\frac{{S}_{△O{F}_{2}A}}{{S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}}$=$\frac{\frac{1}{2}c•{y}_{A}}{\frac{1}{2}•2c•{y}_{P}}$，可得结论．

解答 解：由题意，线段PF₁的垂直平分线恰好过点F₂，垂足为D，则y_D=2y_A=$\frac{1}{2}$y_P，∴y_A=$\frac{1}{4}$y_P，
∴$\frac{{S}_{△O{F}_{2}A}}{{S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}}$=$\frac{\frac{1}{2}c•{y}_{A}}{\frac{1}{2}•2c•{y}_{P}}$=$\frac{1}{8}$，
故选D．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．