Question

（2013•顺义区一模）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为

3

4

，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为

2

3

，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（I）求该射手恰好命中两次的概率；
（II）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX；
（III）求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）该射手恰好命中两次共有

C

2 3

=3种情况，根据相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式即可得出；
（Ⅱ）由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式及数学期望的计算公式计算即可．
（Ⅲ）该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次可分为以下两种情况：“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”事件，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”事件，且上述两种事件互斥，利用相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式解出即可．

解答：解：（I）记：“该射手恰好命中两次”为事件A，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C，“该射手射击乙靶命中”为事件D．
由题意知，P(B)=P(C)=

3

4

，P(D)=

2

3

，
所以P(A)=P(BC

.

D

)+P(B

.

C

D)+P(

.

B

CD)=P(B)P(C)P(

.

D

)+P(B)P(

.

C

)P(D)+P(

.

B

)P(C)P(D)
=

3

4

×

3

4

×(1-

2

3

)+

3

4

×(1-

3

4

)×

2

3

+(1-

3

4

)×

3

4

×

2

3

=

7

16

．
（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4．
P(X=0)=P(

.

B

.

C

.

D

)=(1-

3

4

)×(1-

3

4

)×(1-

2

3

)=

1

48

，P(X=1)=P(B

.

C

.

D

)+P(

.

B

C

.

D

)=

3

4

×(1-

3

4

)×(1-

2

3

)+(1-

3

4

)×

3

4

×(1-

2

3

)=

1

8

，
P(X=2)=P(BC

.

D

)+P(

.

B

.

C

D)=

3

4

×

3

4

×(1-

2

3

)+(1-

3

4

)×(1-

3

4

)×

2

3

=

11

48

，
P(X=3)=P(B

.

C

D)+P(

.

B

CD)=

3

4

×(1-

3

4

)×

2

3

+(1-

3

4

)×

3

4

×

2

3

=

1

4

，
P（X=4）=P（BCD）=

3

4

×

3

4

×

2

3

=

3

8

，
故X的分布列是

X	0	1	2	3	4
P	1 48	1 8	11 48	1 4	3 8

∴EX=0×

1

48

+1×

1

8

+2×

11

48

+3×

1

4

+4×

3

8

=

17

6

．
（III）设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件A₁，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件B₁，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件B₂，
则A₁=B₁∪B₂，B₁，B₂为互斥事件．
P（A₁）=P（B₁）+P（B₂）=

3

4

×(1-

3

4

)×(1-

2

3

)+(1-

3

4

)×

3

4

×(1-

2

3

)+

3

4

×

3

4

×

2

3

=

1

2

．
∴该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为

1

2

．

点评：正确理解相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、数学期望的计算公式，熟练掌握以上公式计算及正确分类是解题的关键．