Question

（2013•顺义区一模）函数B₁的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x²-2x（x∈R）是单函数；
②函数f（x）=

log2x， x≥2 2-x，  x＜2

是单函数；
③若y=f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题是

③

（写出所有真命题的编号）．

Answer 1

分析：根据已知中“单函数”的定义，可得函数f（x）为单函数时，对任意x₁≠x₂，均有f（x₁）≠f（x₂）成立，由此举出反例可判断①②，根据定义可判断③④，进而得到答案．

解答：解：①中函数f（x）=x²-2x（x∈R），当x=0或x=2时，f（x）=0，故?x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时，有x₁≠x₂，不满足“单函数”的定义；
②中函数f（x）=

log2x ，x≥2 2-x，x＜2

，当x=0或x=4时，f（x）=2，故?x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时，有x₁≠x₂，不满足“单函数”的定义；
③由“单函数”的定义可得f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，故其逆否命题：x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）成立，故③为真命题
④中函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，但在整个定义域上有增有减时，可能会存在x₁≠x₂，使x₁≠x₂，从而不满足“单函数”的定义；
综上真命题只有③
故答案为：③

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了新定义“单函数”，正确理解“单函数”的定义是解答的关键．