Question

（本小题满分15分）
给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围；
（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．

Answer 1

（1）．（2）．（3）对于椭圆上的任意点，都有．

试题分析：（1）由题意知，且，可得，
故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．  
（2）由题意，可设，则有，
又A点坐标为，故，
故
,                  
又，故，
所以的取值范围是．               
（3）设，则．
当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有．
当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，
则的方程为，代入椭圆方程可得
，即，
由，       
可得，其中，
设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，
故，即．
综上可知，对于椭圆上的任意点，都有．
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题新定义了“准圆”，解答时要注意审题，明确其特征。本题易漏“其中之一斜率不存在，另一斜率为0， 的情况。