Question

已知二次项系数为正的二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，设向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2），当x∈[0，π]时，求不等式f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

)的解集．

Answer 1

考点：二次函数的性质,平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得二次函数f（x）的图象的对称轴方程为x=1，f（x）在[1，+∞）上是增函数，不等式等价于cos2x＜0，再由2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3π

2

，k∈z，以及0≤x≤π，求得x的范围．

解答： 解：由f（1-x）=f（1+x）成立，可得二次函数f（x）的图象的对称轴方程为x=1．
∵

a

•

b

=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=cos2x+2≥1，
由二次项系数为正，可得f（x）在[1，+∞）上是增函数，
不等式f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

) 等价于 f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1），等价于2sin²x+1＞cos2x+2，化为cos2x＜0，
2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3π

2

，k∈z．
∵0≤x≤π，∴

π

4

＜x＜

3π

4

．
故不等式的解集是[

π

4

，

3π

4

]

点评：本题考查了二次函数的对称性、单调性、余弦函数的单调性、数量积运算，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属中档题．