Question

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．

Answer 1

【答案】分析：要用反三角函数表示∠B，关键是要解三角形，求出含B的三角形中对应的边长，再利用三角函数的定义求出∠B的一个三角函数值，再用反三角函数表示∠B．
解答：解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c-x
因此，△ACD的面积为，
△CBD的面积为，△ABC的面积为，依题意，
，
即x²=c（c-x），即x²+cx-c²=0，
．
∵取负号不合题意，∴取正号，得．
又依直角三角形的性质，有AC²=AD•AB=c（c-x）．
但x²=c（c-x），∴AC²=x²，∴AC=x=DB=．
在直角三角形ABC中，．
故．
点评：在双垂直问题（即过直角三角形的直角顶点做斜边上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去寻求边与边之间的关系．