题目内容
如图，在四棱锥E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD=BC=| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（Ⅰ）求证：△BCE为直角三角形；
（Ⅱ）若AE=AB，求CE与平面ADE所成角的正弦值．
分析：（Ⅰ）由已知条件，利用余弦定理，推导出AC⊥BC，由此入手能证明△BCE为直角三角形．
（Ⅱ）以点C为坐标原点，
，
，
的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ADE所成角的正弦值．
（Ⅱ）以点C为坐标原点，
| CA |
| CB |
| AE |
解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，
∵BC=
AB，∠ABC=
，
∴由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos
=3BC2，
∴AC=
BC，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
又∵EA⊥平面ABCD，∴EA⊥BC，
又∵AC∩AE=A，
∴BC⊥平面ACE，∴BC⊥CE，
∴△BCE为直角三角形．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AC⊥BC，AE⊥平面ABCD，
以点C为坐标原点，
，
，
的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
设BC=a，则AE=AB=2a，AC=
a，
如图2，在等腰梯形ABCD中，
过点C作CG⊥AB于点G，则GB=
a，
∴CD=AB=2GB=a，
过点D作DH⊥BC于H，
由（Ⅰ）知∠DCH=60°，
∴DH=
a，CH=
，
∴D（
，-
0）．
又∵C（0，0，0）A（
a，0，0），B（0，a，0），E（
a，0，2a），
∴
=(-
a，-
，0)，
=（0，0，2a），
=（
a，0，2a），
设平面ADE的一个法向量为
=(x，y，z)，
则
•
=0，
•
=0，
∴
，∴
=（
，-3，0），
设CE与平面ADE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜
，
＞|=|
•
|=
，
∴直线CE与平面ADE所成角的正弦值为
．
∵BC=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos
| π |
| 3 |
∴AC=
| 3 |
又∵EA⊥平面ABCD，∴EA⊥BC，
又∵AC∩AE=A，
∴BC⊥平面ACE，∴BC⊥CE，
∴△BCE为直角三角形．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AC⊥BC，AE⊥平面ABCD，
以点C为坐标原点，
| CA |
| CB |
| AE |
建立空间直角坐标系，
设BC=a，则AE=AB=2a，AC=
| 3 |
如图2，在等腰梯形ABCD中，
过点C作CG⊥AB于点G，则GB=
| 1 |
| 2 |
∴CD=AB=2GB=a，
过点D作DH⊥BC于H，
由（Ⅰ）知∠DCH=60°，
∴DH=
| ||
| 2 |
| a |
| 2 |
∴D（
| ||
| 2 |
| a |
| 2 |
又∵C（0，0，0）A（
| 3 |
| 3 |
∴
| AD |
| ||
| 2 |
| a |
| 2 |
| AE |
| CE |
| 3 |
设平面ADE的一个法向量为
| n |
则
| AD |
| n |
| AE |
| n |
∴
|
| n |
| 3 |
设CE与平面ADE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜
| CE |
| n |
| 3a | ||
|
| 12 |
| ||
| 14 |
∴直线CE与平面ADE所成角的正弦值为
| ||
| 14 |
点评：本题考查三角形为直角三角形的证明，考要查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．
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