Question

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：要用反三角函数表示∠B，关键是要解三角形，求出含B的三角形中对应的边长，再利用三角函数的定义求出∠B的一个三角函数值，再用反三角函数表示∠B．

解答：解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c-x
因此，△ACD的面积为

1

2

h(c-x)，
△CBD的面积为

1

2

hx，△ABC的面积为

1

2

hc，依题意，
(

1

2

hx)=

1

2

h(c-x)•

1

2

hc，
即x²=c（c-x），即x²+cx-c²=0，
x=

-c± c2+4c2

2

．
∵取负号不合题意，∴取正号，得x=

5 -1

2

c．
又依直角三角形的性质，有AC²=AD•AB=c（c-x）．
但x²=c（c-x），∴AC²=x²，∴AC=x=DB=

5 -1

2

c．
在直角三角形ABC中，sinB=

AC

AB

=

5 -1 2 c

c

=

5 -1

2

．
故∠B=arcsin

5- 1

2

．

点评：在双垂直问题（即过直角三角形的直角顶点做斜边上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去寻求边与边之间的关系．