Question

8．已知α，β均为锐角，且sinα=$\frac{3}{5}$，cos（β+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．则sin2α$\frac{24}{25}$，cosβ=$\frac{1}{7}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得cosα、sin（β+$\frac{π}{6}$）的值，再利用二倍角公式求得sin2α的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（β+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]的值．

解答 解：α，β均为锐角，且sinα=$\frac{3}{5}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，则sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$．
∵cos（β+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，则β+$\frac{π}{6}$为钝角，故sin（β+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（β+\frac{π}{6}）}$=$\frac{13}{14}$，
∴cosβ=cos[（β+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（β+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（β+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{13}{14}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{7}$，
故答案为：$\frac{24}{25}$；$\frac{1}{7}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．