Question

已知△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若∠A＞∠B＞∠C，∠A=2∠C，b=4，a+c=8，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：通过三角形的内角和以及正弦定理，三倍角和二倍角公式，化简求出C的三角函数值，然后求解a的值．

解答： 解：sinB=sin（180°-B）=sin（A+C）=sin3C，sinA=sin2C，
由正弦定理得

b

sinB

=

a+c

sinA+sinC

，

4

sinB

=

8

sinA+sinC

，可得 2sin3C=sin2C+sinC，
∵sin3C=3sinC-4sin³C，sin2C=2sinCcosC，
上式化为8cos²C-2cosC-3=0
所以cosC=

3

4

，（cosC=-

1

2

舍去）
∴sinC=

7

4

，sinA=sin2C=

3 7

8

，

a

c

=

sinA

sinC

=

3

2

，∵a+c=8，
解得a=

24

5

，c=

16

5

．
故答案为：

24

5

．

点评：本题考查正弦定理的应用，倍角公式的应用，考查转化思想以及计算能力．