Question

4．已知$\frac{π}{3}$是函数f（x）=2cos²x+asin2x+1的一个零点．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数的零点的定义，求得实数a的值．
（Ⅱ）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知$f（\frac{π}{3}）=0$，即$f（\frac{π}{3}）=2{cos^2}\frac{π}{3}+asin\frac{2π}{3}+1=0$，
即$f（\frac{π}{3}）=2{（\frac{1}{2}）^2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}a+1=0$，解得$a=-\sqrt{3}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$f（x）=2{cos^2}x-\sqrt{3}sin2x+1$=$cos2x-\sqrt{3}sin2x+2$=$2sin（2x+\frac{5π}{6}）+2$，
函数y=sinx的递增区间为$[{2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}}]$，k∈Z．
由$2kπ-\frac{π}{2}＜2x+\frac{5π}{6}＜2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$kπ-\frac{2π}{3}＜x＜kπ-\frac{π}{6}$，k∈Z，
所以，f（x）的单调递增区间为$[{kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}}]$，k∈Z．

点评 本题主要考查函数的零点的定义，三角恒等变换、正弦函数的单调性，属于中档题．