Question

已知数列{a_n}满足：a_n+2=3a_n+1-2a_n，a₁=2，a₂=4，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1-a_n}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n（a_n+1），{b_n}的前n项和记为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）将已知的递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{a_n+1-a_n}成等比数列，再利用累加法求出数列{a_n}的通项公式，
（2）先求出{b_n}的前n项通项公式，利用等比前n项和公式求出．

解答： 解：（1）∵a_n+2=3a_n+1-2a_n
∴a_n+2-a_n+1=2a_n+1-2a_n=2（a_n+1-a_n），
∵a₁=2，a₂=4，
∴a₂-a₁=2，
∴数列{a_n+1-a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a₂-a₁=2，a₃-a₂=2²，…，a_n-a_n-1=2^n-1，
∴a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1=2+2²+…+2^n-1=

2(1-2n-1)

1-2

=-2+2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ，
（2）∵b_n=a_n（a_n+1），
∴b_n=2ⁿ（2ⁿ+1）=2²ⁿ+2ⁿ=4ⁿ+2ⁿ
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（4+4²+…+4ⁿ）=

2(1-2n)

1-2

+

4(1-4n)

1-4

=2ⁿ⁺¹+

4n+1

3

-

10

3

点评：本题主要考查了数列的递推公式，前n项和公式，属于中档题