Question

11．已知函数f（x）=asinx+ln（1-x）．
（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）在区间[0，1）上单调递减，求a的取值范围；
（3）求证：e${\;}^{sin\frac{1}{（1+1）^{2}}+sin\frac{1}{（2+1）^{2}}+…+sin\frac{1}{（n+1）^{2}}}$＜2，（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函数解析式，求出导函数，得到f′（0）及f（0），然后利用直线方程的点斜式得答案；
（2）由f（x）在区间[0，1）上单调递减，可得f′（x）=acosx-$\frac{1}{1-x}$≤0对x∈[0，1）恒成立，然后对a分类即可求得a的取值范围为（-∞，1]；
（3）由（2）知，当a=1时，f（x）=sinx+ln（1-x）在（0，1）上单调递减，可得f（x）＜f（0）=0，即sinx＜ln$\frac{1}{1-x}$，由$sin\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$ln\frac{1}{1-\frac{1}{（n+1）^{2}}}=ln\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$及$ln\frac{{2}^{2}}{1•3}+ln\frac{{3}^{2}}{2•4}+…+ln\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$=ln[$\frac{{2}^{2}}{1•3}•\frac{{3}^{2}}{2•4}…\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$]=$ln\frac{2（n+1）}{n+2}=ln[2（1-\frac{1}{n+2}）]$＜ln2．即可证得$sin\frac{1}{（1+1）^{2}}+sin\frac{1}{（2+1）^{2}}+…+sin\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜ln2．则e${\;}^{sin\frac{1}{（1+1）^{2}}+sin\frac{1}{（2+1）^{2}}+…+sin\frac{1}{（n+1）^{2}}}$＜2，（n∈N^*）．

解答 （1）解：a=1时，f（x）=asinx+ln（1-x），
f′（x）=cosx-$\frac{1}{1-x}$，∴f′（0）=0，又f（0）=0，
∴f（x）在x=0处的切线方程为y=0；
（2）解：∵f（x）在区间[0，1）上单调递减，
∴f′（x）=acosx-$\frac{1}{1-x}$≤0对x∈[0，1）恒成立，
若a≤0，x∈[0，1）时，acosx-$\frac{1}{1-x}$≤0成立．
若a＞0，acosx-$\frac{1}{1-x}$≤0?（1-x）cosx$≤\frac{1}{a}$．
令h（x）=（1-x）cosx，显然h（x）在[0，1）上单调递减，
∴h（x）≤h（0）=1，∴$\frac{1}{a}≥1$，则0＜a≤1．
综上，a的取值范围为（-∞，1]；
（3）证明：由（2）知，当a=1时，f（x）=sinx+ln（1-x）在（0，1）上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0，即sinx＜ln$\frac{1}{1-x}$，
而$\frac{1}{（n+1）^{2}}$∈（0，1），∴$sin\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$ln\frac{1}{1-\frac{1}{（n+1）^{2}}}=ln\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$，
∴$sin\frac{1}{（1+1）^{2}}+sin\frac{1}{（2+1）^{2}}+…+sin\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$ln\frac{{2}^{2}}{1•3}+ln\frac{{3}^{2}}{2•4}+…+ln\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$，
而$ln\frac{{2}^{2}}{1•3}+ln\frac{{3}^{2}}{2•4}+…+ln\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$=ln[$\frac{{2}^{2}}{1•3}•\frac{{3}^{2}}{2•4}…\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$]=$ln\frac{2（n+1）}{n+2}=ln[2（1-\frac{1}{n+2}）]$＜ln2．
∴$sin\frac{1}{（1+1）^{2}}+sin\frac{1}{（2+1）^{2}}+…+sin\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜ln2．
∴e${\;}^{sin\frac{1}{（1+1）^{2}}+sin\frac{1}{（2+1）^{2}}+…+sin\frac{1}{（n+1）^{2}}}$＜2，（n∈N^*）．

点评 本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，训练了由导数及放缩法证明函数不等式，是压轴题．