Question

1．已知矩阵$M=[{\begin{array}{l}1&a\\ 3&b\end{array}}]$的一个特征值λ₁=-1，及对应的特征向量$\overrightarrow e=[{\begin{array}{l}1\\{-1}\end{array}}]$，求矩阵M的逆矩阵．

Answer 1

分析 利用特征值、特征向量的定义，建立方程，求出M，再求矩阵M的逆矩阵．

解答 解：由题意，$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{3}&{b}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=-1•$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a=-1}\\{3-b=1}\end{array}\right.$，
∴a=2，b=2，
∴M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$，
∴|M|=1×2-2×3=-4，
∴M^-1=$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{\frac{3}{4}}&{-\frac{1}{4}}\end{array}]$．

点评 本题考查求矩阵特征值及特征向量，考查逆矩阵的求法，考查计算能力，属于中档题．