Question

14．设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（2）求|3$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$|；
（3）求（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积的定义可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-4，再由向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求；
（2）运用向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求；
（3）运用多项式的乘法法则，展开，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2．
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos120°=4×2×（-$\frac{1}{2}$）=-4，
即有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{16+4-8}$=2$\sqrt{3}$；
（2）|3$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}+16{\overrightarrow{b}}^{2}-24\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{9×16+16×4+24×4}$=4$\sqrt{19}$；
（3）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=16+4-8=12．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．