Question

16．设抛物线C：y²=4x，过定点（m，0）的直线l与抛物线C交于A、B两点，连结A及抛物线顶点O的直线与准线交于点B′，直线BO与准线交于点A′，且AA′与BB′均平行于x轴．
（1）求m的值；
（2）求四边形ABB′A′面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过设直线l方程：x=ty+m，并与抛物线方程联立，利用A'、O、B三点共线，计算即得结论；
（2）依题意可知A′（-1，y₁）、B′（-1，y₂），利用S_{四边形ABB′A′}=$\frac{1}{2}$（AA′+BB′）h化简计算即得结论．

解答 解：（1）设$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}），B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，
设直线l方程：x=ty+m，并与抛物线方程联立，
消去x整理得：y²-4ty-4m=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=4t\\{y_1}{y_2}=-4m\end{array}\right.$，
依题意A'，O，B三点共线，
∴k_AO=k_BO，即$\frac{{y}_{1}}{-1}$=$\frac{{y}_{2}}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}$，
∴y₁y₂=-4，
∴m=1；
（2）依题意A′（-1，y₁），B′（-1，y₂），
S_{四边形ABB′A′}=$\frac{1}{2}$（AA′+BB′）h
=$\frac{1}{2}$（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$+1+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$+1）|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}（\frac{{{y_1}^2+{y_2}^2}}{4}+2）\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$
=$8（{t^2}+1）\sqrt{{t^2}+1}≥8$，
当t=0时等号成立，此时l_AB：x=1．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．