Question

16．已知f（x）的定义在（0，+∞）的函数，对任意两个不相等的正数x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{2}f（{x}_{1}）-{x}_{1}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，记a=$\frac{f（{3}^{0.2}）}{{3}^{0.2}}$，b=$\frac{f（{0.3}^{2}）}{{0.3}^{2}}$，c=$\frac{f（lo{g}_{2}5）}{lo{g}_{2}5}$，则（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜a＜c
• C． c＜a＜b
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 根据题意，得出函数$\frac{f（x）}{x}$是（0，+∞）上的减函数，再根据自变量的大小判断函数值大小即可．

解答 解：∵f（x）是定义在（0，+∞）的函数，
且对任意两个不相等的正数x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{2}f（{x}_{1}）-{x}_{1}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴函数$\frac{f（x）}{x}$是（0，+∞）上的减函数，
又1＜3^0.2＜2，0＜0.3²＜1，log₂5＞2，
∴0.3²＜3^0.2＜log₂5，
∴$\frac{f{（log}_{2}5）}{{log}_{2}5}$＜$\frac{f{（3}^{0.2}）}{{3}^{0.2}}$＜$\frac{f{（0.3}^{2}）}{{0.3}^{2}}$，
即c＜a＜b．
故选：C．

点评 本题考查了利用函数的单调性比较大小的应用问题，也考查了指数函数、对数函数性质的应用问题，是综合性题目．