Question

已知f(x)＝ax³＋bx²＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数．又f ′＝.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[0，m](m>0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．

Answer 1

[解析]　(1)f ′(x)＝3ax²＋2bx＋c，

由已知得f ′(0)＝f ′(1)＝0，

∴f ′(x)＝3ax²－3ax，∴f ′＝－＝，

∴a＝－2，

∴f(x)＝－2x³＋3x².

(2)令f(x)≤x，即－2x³＋3x²－x≤0，

∴x(2x－1)(x－1)≥0，∴0≤x≤或x≥1.

又f(x)≤x在区间[0，m]上恒成立，

∴0<m≤.