Question

7．数列{a_n}是等比数列，且a₁=2，q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+…+${a}_{n}^{2}$=8$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$．

Answer 1

分析 利用等比数列的通项公式可得：a_n，$\frac{{a}_{n+1}^{2}}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}是等比数列，且a₁=2，q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${a}_{n}=2×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n-1}$．
∴$\frac{{a}_{n+1}^{2}}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{[2×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}]^{2}}{[2×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n-1}]^{2}}$=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}$，
则${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+…+${a}_{n}^{2}$=$\frac{4（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=8$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$．
故答案为：8$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．