Question

已知椭圆C₁：的离心率为，椭圆上一点到一个焦点的最大值为3，圆，点A是椭圆上的顶点，点P是椭圆C₁上不与椭圆顶点重合的任意一点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若直线AP与圆C₂相切，求点P的坐标；
（3）若点M是椭圆C₁上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点，点M关于x轴的对称点是点N，直线MP，NP分别交x轴于点E（x₁，0），点F（x₂，0），探究x₁•x₂是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，，∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，∴椭圆C₁的方程为；
（2）由（1）知A（0，），且直线AP的斜率存在，设其斜率为k，则直线AP的方程为kx-y+=0
圆C₂的圆心坐标为（-4，），半径为2
∵直线AP与圆C₂相切，
∴=2
∴
k=时，直线方程代入椭圆方程可得5x²+8x=0，∴x=0或x=-，∴点P的坐标为（-，-）
同理可得k=-时，点P的坐标为（，-）；
（3）设M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），则N（x₃，-y₃），
由M，P，E三点共线，可得=，∴
同理由N，P，F三点共线，可得
∵M，P在椭圆上，∴，
∴x₁•x₂=×=4
∴x₁•x₂是定值，定值为4．
分析：（1）根据的离心率为，椭圆上一点到一个焦点的最大值为3，建立方程组，即可求得椭圆C₁的方程；
（2）设直线AP的方程为kx-y+=0，利用直线AP与圆C₂相切，求得直线的斜率，从而可得点P的坐标；
（3）设M、P、N的坐标，利用M，P，E三点共线，N，P，F三点共线，结合M，P在椭圆上，即可求得x₁•x₂是定值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查三点共线，正确确定椭圆方程是关键．