Question

已知椭圆C₁：的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切，
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）若AC、BD为椭圆C₁的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值．

Answer 1

解：（1），∴，∴，
∵直线l：x-y+2=0与圆相切，
∴，∴，∴，
∴椭圆C₁的方程是；
（2）∵MP=MF₂，∴动点M到定直线l₂：x=-1的距离等于它到定点F₂（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹C是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，
∴点M的轨迹C₃的方程为；
（3）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，，
则直线AC的方程为y=k（x-1），
联立及y=k（x-1）得，
所以，
，
由于直线BD的斜率为，用代换上式中的k可得，
因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为，
由，所以，
当时，k=±1时取等号；
易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=4；
综上可得，四边形ABCD面积的最小值为。