Question

11．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB．
（1）求∠C；
（2）若c=$\frac{7}{2}$，△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）运用两角和的正切公式和诱导公式，可得C的值；
（2）运用余弦定理和三角形的面积公式，结合配方思想，即可得到a+b的值．

解答 解：（1）tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB，
即为tanA+tanB=$\sqrt{3}$（tanAtanB-1），
tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}（tanAtanB-1）}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$，
即有tanC=-tan（A+B）=$\sqrt{3}$，（0＜∠C＜π），
则∠C=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理可得，c²=a²+b²-2abcosC，
即为a²+b²-ab=$\frac{49}{4}$，即有（a+b）²=3ab+$\frac{49}{4}$，
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
即有ab=6，
则（a+b）²=18+$\frac{49}{4}$=$\frac{121}{4}$，
即有a+b=$\frac{11}{2}$．

点评 本题主要考查余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正切公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．