题目内容
在△ABC中，∠A=60°，若|
|+|
|=
|
|，试判断△ABC的形状．
| AC |
| AB |
| 3 |
| BC |
考点：三角形的形状判断
专题：解三角形,平面向量及应用
分析：由条件利用余弦定理可得可得cosA=
=
，求得AC=2AB，或AC=
AB．当AC=2AB时，BC2+AB2=4AB2=AC2，△ABC为直角三角形．同理可得，当AC=
AB时，△ABC也为直角三角形，从而得出结论．
| AB2+AC2-BC2 |
| 2AB•AC |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：△ABC中，∵∠A=60°，|
|+|
|=
|
|，∴BC2=
．
由余弦定理可得可得cosA=
=
=
，
∴2AC2-5AB•AC+2AB2=0，解得 AC=2AB，或AC=
AB．
当AC=2AB 时，BC2+AB2=4AB2=AC2，∴AB⊥BC，∴B为直角，△ABC为直角三角形．
当AC=
AB时，BC2+AC2=AB2，∴BC⊥AC，C为直角，∴△ABC为直角三角形．
综上可得，△ABC为直角三角形．
| AC |
| AB |
| 3 |
| BC |
| (AB+AC)2 |
| 3 |
由余弦定理可得可得cosA=
| AB2+AC2-BC2 |
| 2AB•AC |
| 2AB2+2AC2-2AB•AC |
| 6AB•AC |
| 1 |
| 2 |
∴2AC2-5AB•AC+2AB2=0，解得 AC=2AB，或AC=
| 1 |
| 2 |
当AC=2AB 时，BC2+AB2=4AB2=AC2，∴AB⊥BC，∴B为直角，△ABC为直角三角形．
当AC=
| 1 |
| 2 |
综上可得，△ABC为直角三角形．
点评：本题主要考查勾股定理、余弦定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
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