Question

已知函数f（x）=alnx+

1

x

-1在x=1处取极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[

1

e

，e²]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数的运算法则可得f′（x），再利用f'（1）=0即可得出a；
（II）利用导数研究函数的单调性极值与区间端点出的函数值，即可得出最值．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

ax-1

x2

，（x＞0）．
∵f'（1）=0，
∴

a-1

1

=0，解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=

x-1

x2

，
在[1，e²]上f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；在[

1

e

，1]上f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴（f（x））_min=f（1）=0；
又f(

1

e

)=e-2，f(e2)=

1

e2

+1，
∴(f(x))max=f(e2)=

1

e2

+1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．