Question

已知f（x）=sin（2014x+

π

6

）+cos（2014x-

π

3

）的最大值为A，若存在实数x₁，x₂，使得对任意实数x总有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则A|x₁-x₂|的最小值为（　　）

• A、

  π

  1007

• B、

  π

  2014

• C、

  2π

  1007

• D、

  2 π

  1007

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2014x+

π

6

），依题意可知A=2，|x₁-x₂|的最小值为

1

2

T=

π

2014

，从而可得答案．

解答： 解：∵f（x）=sin（2014x+

π

6

）+cos（2014x-

π

3

）
=

3

2

sin2014x+

1

2

cos2014x+

1

2

cos2014x+

3

2

sin2014x
=

3

sin2014x+cos2014x
=2sin（2014x+

π

6

），
∴A=f（x）_max=2，周期T=

2π

2014

=

π

1007

，
又存在实数x₁，x₂，对任意实数x总有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，
∴f（x₂）=f（x）_max=2，f（x₁）=f（x）_min=-2，
|x₁-x₂|的最小值为

1

2

T=

π

2014

，又A=2，
∴A|x₁-x₂|的最小值为

π

1007

．
故选：A．

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．