Question

8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bc=b²+c²-a²．
（1）求角A的大小；
（2）若sin B+sin C=$\sqrt{3}$，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）直接利用余弦定理化简可得答案．
（2）根据A的角度，由sin B+sin C=$\sqrt{3}$，消去C，得sin B+sin（π-A-B）=$\sqrt{3}$，求解出B，即可判断．

解答 解：（1）由bc=b²+c²-a²，
∴cos A=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．
∵0°＜A＜180°，
∴A=60°
（2）∵A+B+C=180°，
∴B+C=180°-60°=120°．
由sin B+sin C=$\sqrt{3}$，得sin B+sin（120°-B）=$\sqrt{3}$．
∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{3}{2}$sin B+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos B=$\sqrt{3}$，即sin（B+30°）=1．
∵0°＜B＜120°，∴30°＜B+30°＜150°．
∴B+30°=90°，B=60°．
∴A=B=C=60°．
∴△ABC为等边三角形．

点评 本题考查了余弦定理的运用和三角形内角和定理的计算．属于中档题基础题．