Question

5．已知函数f（x）=-x³-x+sinx，若关于x的不等式$f（\frac{1}{x}）+f（x-m）＞0$在$[\frac{1}{2}，2]$上有解，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $m＜\frac{5}{2}$
• B． $m＞\frac{5}{2}$
• C． m＜2
• D． m＞2

Answer 1

分析 利用f（x）的奇偶性得出f（x）＞f（m-x），再利用f（x）的单调性得出m＞x+$\frac{1}{x}$，利用基本不等式得出结论．

解答 解：f（x）的定义域为R，f（-x）=x³+x-sinx=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
∵f（$\frac{1}{x}$）+f（x-m）＞0在[$\frac{1}{2}$，2]上有解，
∴f（$\frac{1}{x}$）＞-f（x-m）=f（m-x）在[$\frac{1}{2}$，2]上有解，
∵f′（x）=-3x²-1+cosx≤-3x²≤0，
∴f（x）是减函数，
∴$\frac{1}{x}$＜m-x在[$\frac{1}{2}$，2]上有解，即m＞x+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，2]上有解，
∵x$+\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=1时取等号，
∴m＞2．
故选D．

点评 本题考查了函数单调性，奇偶性的判断与应用，函数最值与函数存在性问题的处理方法，属于中档题．