题目内容
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点．给出下列命题：
①弦MN的长的取值范围是(0，2
]；
②内切球的体积为
；
③直线PM与PN所成角的范围是(0，
]；
④当PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是
；
⑤线段PN的最大值是
+1．
其中正确的命题是 （把所有正确命题的序号都填上）
①弦MN的长的取值范围是(0，2
| 2 |
②内切球的体积为
| 4π |
| 3 |
③直线PM与PN所成角的范围是(0，
| π |
| 2 |
④当PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是
| ||
| 2 |
⑤线段PN的最大值是
| 3 |
其中正确的命题是
考点：命题的真假判断与应用
专题：空间位置关系与距离
分析：根据MN的最大值为球直径，即|MN|≤2可判断①；
由内切球的直径为2，求出球的体积，可判断②；
根据直线PM与PN所成角最小为0，可判断③；
根据PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是
，可判断④；
根据线段PN的最大值是
+1可判断⑤
由内切球的直径为2，求出球的体积，可判断②；
根据直线PM与PN所成角最小为0，可判断③；
根据PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是
| 2 |
根据线段PN的最大值是
| 3 |
解答：
解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦，
故MN的最大值为球直径，即|MN|≤2，
即弦MN的长的取值范围是（0，2]，故①错误；
内切球的直径为2，半径为2，体积为
，故②正确；
直线PM与PN所成角的范围是[0，
]，故③错误；
当PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是
，此时P为正方体的一个顶点，N为内切球与正方体的切点；故④错误；
线段PN的最大值是
+1．此时P为正方体的一个顶点，N为体对角线与球的交点，故⑤正确；
故答案为：②⑤
故MN的最大值为球直径，即|MN|≤2，
即弦MN的长的取值范围是（0，2]，故①错误；
内切球的直径为2，半径为2，体积为
| 4π |
| 3 |
直线PM与PN所成角的范围是[0，
| π |
| 2 |
当PN是内切球的一条切线时，PN的最大值是
| 2 |
线段PN的最大值是
| 3 |
故答案为：②⑤
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了正方体的内切球及其相关的距离，夹角，体积等问题，难度中档．
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如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱CC1，C1D1，AB的中点．“a=1”是“行列式
=0”的（ ）
|
| A、充分非必要条件 |
| B、必要非充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、非充分非必要条件 |
已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
| A、若l⊥α，m?α，则l⊥m |
| B、若l⊥m，m?α，则l⊥α |
| C、若l∥α，m?α，则l∥m |
| D、若l∥α，m∥α，则l∥m |