Question

三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点。

（1）证明：平面GFE//平面PCB；

（2）求二面角B-AP-C的正切值；

（3）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值。

Answer 1

解答：（1）因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，所以EF//BC，GF//CP。因为EF，GF平面PCB，所以EF//平面PCB，GF//平面PCB。又EF∩GF=F，所以平面GFE//平面PCB。

（2）过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H，连接HB。因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依条件容易求出CH=，所以tan∠BHC=，所以二面角B-AP-C的正切值是。

（3）如图，设PB的中点为K，连接KC，AK，因为ΔPCB为等腰直角三角形，所以KC⊥PB；又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，又因为AK∩KC=K，所以PB⊥平面AKC；又PB平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M。因为平面AKC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，连接PM，则∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角。容易求出PF=，FM=，所以sin∠MPF==.即直线PF与平面PAB所成的角的正弦值是