Question

8．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin²$\frac{A+B}{2}$=sinC+1．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{2}$，c=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosC=sinC，结合范围C∈（0，π），即可求得C的值．
（Ⅱ）由正弦定理可求sinA=1，进而可得A=$\frac{π}{2}$，B=C=$\frac{π}{4}$，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）∵2sin²$\frac{A+B}{2}$=sinC+1，
在△ABC中，A+B+C=π，
∴2cos²$\frac{C}{2}$=sinC+1，可得：cosC=sinC，…（3分）
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{4}$．…（5分）
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理：$\frac{\sqrt{2}}{sinA}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{4}}$，
∴sinA=1，A=$\frac{π}{2}$，B=C=$\frac{π}{4}$，…（8分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}$．…（10分）

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．