Question

3．已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2（n∈N^*），且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和方法”即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2（n∈N^*），∴数列{a_n}是等差数列，公差为2．
∵a₁，a₄，a₁₃成等比数列，∴${a}_{4}^{2}$=a₁•a₁₃，∴$（{a}_{1}+6）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+24）$，解得a₁=3．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
（2）$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．