题目内容
【题目】已知椭圆
的焦点与双曲线
的焦点重合，过椭圆
的右顶点
任意作直线
，交抛物线
于
，
两点，且
，其中
为坐标原点.
（1）试求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点
作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点
、
、
、
，试求四边形
的面积
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】试题分析：
结合题意得
，联立直线与椭圆方程，结合
算出椭圆方程
讨论斜率不存在和为零的情况，然后联立直线与椭圆方程，结合弦长公式和面积公式进行计算。
解析：（1）∵双曲线
的焦点为
，
∴椭圆
中，，可知其右顶点为
，
设直线
的方程为
，同
联立整理，
可得
.
设
，
，
，
.
由，可知
，
即
，可知
.
∴
，
.
可知椭圆的方程为.
（2）易知左焦点
.
①当直线
，
中的一条直线的斜率不存在时，可知
；
②当直线，的斜率均存在且不为零时，设的直线方程为
，与椭圆方程联立
化简得
.
设
，
，
，
.
可知
.
将
用
代换可得
，
.
∵
（当且仅当
时，取等号），
∴
.
∴
，
可得
.
综合可知面积
的取值范围为.
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