Question

【题目】已知在几何体中，四边形是边长为的正方形，且平面，，且，与平面所成角的正切值为.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：(1) 取的中点，连接，,结合已知条件证得平面，由勾股定理得，利用定理证得结果以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向量为，求平面的法向量为，运用公式求出结果

解析：（1）取的中点，连接，，

∵平面，，

∴在平面内的射影为，

∵，又，∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∴为与平面所成的角.

∵，

∴，，

∴，设，连接，.

∵，，，

∴平面，

∵平面，∴.

∵，，.

∴，

∴，又，

∴平面.

又∵平面.∴平面平面.

（2）∵，，两两垂直，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，

则，，，

设平面的法向量为，

则即取，

得.

设平面的法向量为，

即

取，得.

设二面角的平面角为，

∵

，

∴，即二面角的大小为.