题目内容
【题目】如图，四边形
中，
，
，
，
，
，
分别在
，
上，
，现将四边形沿
折起，使平面
平面
.
（Ⅰ）若
，在折叠后的线段上是否存在一点
，且
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）当三棱锥
的体积最大时，求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）在
存在一点
，且
，使
平面
.
（Ⅱ）
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）折叠后，连结
，得
，进而得
平面，再由
，
，得到平面
平面，进而得平面，即可得到结论；
（Ⅱ）根据题意得
时，
取是最大值，再由（Ⅰ）可以
为原点，以
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，求得平面
和
的的法向量，利用向量的夹角公式即可求解二面角
的余弦值.
试题解析：
（Ⅰ）在折叠后的图中过
作
，交于
，过作
交于，连结，在四边形
中，
，
，所以.
折起后
，
，
又平面
平面
，平面
平面
，所以平面.
又
平面，所以
，所以，，
，
因为
，
，所以平面平面，因为
平面
，所以平面.
所以在存在一点，且，使平面.
（Ⅱ）设
，所以
，
，
故
所以当时，
取是最大值.
由（Ⅰ）可以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，所以
，
，
，
，设平面的法向量
，
则
即
令
，则
，
，则
，
设平面的法向量
，
则
即
令
，则
，
，则
所以
.
所以二面角
的余弦值为
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