题目内容
【题目】扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯。现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着它们自身的对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为
,上顶点为
，
米，在它的内部放有一个半径为
米的球形灯泡，球心
在轴
上,且
米。若球形灯泡的球心到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点处取到。建立适当的坐标系可得抛物线方程为
，则实数
的取值范围是_______
【答案】
【解析】
设出抛物线上任意一点的坐标，根据两点间间的距离公式求得“球形灯泡的球心
到四周轮廓上的点的距离”，根据“最近距离是在下顶点
处取到”结合二次函数的性质，求得
的取值范围.
画出截面并建立平面直角坐标系如下图所示，其中为坐标原点，抛物线方程为
，
，设抛物线上任意一点的坐标为
，由两点间的距离公式得
，令
则
的开口向上，对称轴为
，当对称轴
时，在
处取得最小值，也即当
时，
取得最小值为
，也即符合“球形灯泡的球心到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点处取到”.当对称轴
时，最小值在对称轴处取得，且最小值小于
，不符合题意.故由，解得
.
故填：
.
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