题目内容
【题目】已知中心为坐标原点、焦点在坐标轴上的椭圆
经过点
和点
，直线
：
与椭圆交于不同的
，
两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上存在点
，使得四边形
恰好为平行四边形，求直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值以及此时
，
的值.
【答案】（1）
；（2）
，
，
.
【解析】
（1）利用待定系数法将两点代入椭圆方程即可求得结果
（2）由于四边形
为平行四边形，则
，因为点
在椭圆
上，解得
与
的关系，根据直线方程得到三角形面积，利用均值不等式求得最值
（1）由题意可设椭圆的方程为
（
，
，且
）.
解得
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意可设
，
.
联立
整理得
.
.
根据韦达定理得
因为四边形恰好为平行四边形，
所以.
所以
，
.
因为点在椭圆上，所以
，
整理得
，即
.
在直线
：
中，由于直线与坐标轴围成三角形，则
，
.
令
，得
，令
，得
.
所以直线与坐标轴围成的三角形面积为
，
当且仅当
，
时，取等号，此时
.
所以直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值为.
此时，，.
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【题目】根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量
（单位：
）对工期的影响如下表：
降水量 |
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工期延误天数 | 0 | 1 | 3 | 6 |
根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前
天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示.
（1）根据降水量的折线图，分别求该工程施工延误天数
的频率；
（2）以（1）中的频率作为概率，求工期延误天数
的分布列及数学期望与方差.
