Question

【题目】已知圆，，动圆与圆、都相切，则动圆的圆心轨迹的方程为________；直线与曲线仅有三个公共点，依次为、、，则的最大值为________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

分两种情况讨论①圆与圆外切，与圆内切；②圆与圆、都内切.利用椭圆的定义可求得轨迹的方程；由直线与曲线仅有三个公共点，可知直线与椭圆相切，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式结合不等式的性质可求得的最大值.

已知圆，，则圆内含于圆，

圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.

设动圆的半径为，分以下两种情况讨论：

①圆与圆外切，与圆内切，

由题意可得，，

此时，圆的圆心轨迹是以、分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆，

，，则，此时，轨迹的方程为；

②圆与圆、都内切，且，

由题意可得，，

此时，圆的圆心轨迹是以、分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆，

，，，此时，轨迹的方程为；

综上所述，轨迹的方程为或；

由于直线与曲线仅有三个公共点，则直线与椭圆相切.

①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，

可设直线的方程为，联立，解得，此时；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立，消去并整理得，

，可得，

设点、，联立，消去并整理得，

，

由韦达定理得，，

，

，当且仅当时，取得最大值.

故答案为：或；.