Question

6．已知抛物线y=ax²+2x-a-1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，且点A在直线3mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 12
• C． 24
• D． 36

Answer 1

分析 抛物线y=ax²+2x-a-1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，得到A（-1，-3），再把点A代入直线方程得到m+n=$\frac{1}{3}$，再把“1”整体代入所求的式子，利用基本不等式求出最小值．

解答 解：抛物线y=ax²+2x-a-1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，
∴A（-1，-3），
∴$m+n=\frac{1}{3}$，
又$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{3（m+n）}{m}+\frac{3（m+n）}{n}$=$6+3（\frac{n}{m}+\frac{m}{n}）$$≥6+6\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{m}{n}$=12，当且仅当m=n时等号成立．
故选：B

点评 本题考查了基本不等式的应用，利用抛物线的图象过定点求出点的坐标，再由“1”的整体代换凑出积为定值，利用基本不等式进行求解，注意“一正、二定、三相等”的验证．