Question

10．设f（n）=（$\frac{1+i}{1-i}$）ⁿ+（$\frac{1-i}{1+i}$）ⁿ（n∈N^*），则集合{f（n）}中元素的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 无数个

Answer 1

分析 化简复数$\frac{1+i}{1-i}$与$\frac{1-i}{1+i}$，再根据i的性质，计算f（n）的值．

解答 解：化简复数$\frac{1+i}{1-i}$=$\frac{（1+i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=i，
$\frac{1-i}{1+i}$=$\frac{（1-i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}$=-i，
∴f（n）=（$\frac{1+i}{1-i}$）ⁿ+（$\frac{1-i}{1+i}$）ⁿ
=iⁿ+（-i）ⁿ，
根据i的性质，对指数是1，2，3，4四个数字进行检验即可，
∵f（1）=0，f（2）=-2，
f（3）=0，f（4）=2；
∴集合{f（n）}中共有3个元素．
故选：C．

点评 本题考查了复数的化简与运算问题，也考查了虚数单位的性质与应用问题，是基础题目．