Question

【题目】若数列满足:对任意，都有,则称为“紧密”数列.

(1)设某个数列为“紧密”数列，其前项依次为，求的取值范围；

(2)若数列的前项和，判断是否为“紧密”数列，并说明理由；

(3)设是公比为的等比数列，前项和为，且与均为“紧密”数列，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是 “紧密”数列，理由见详解；（3）

【解析】

（1）根据题意，得到，且，求解，即可得出结果；

（2）根据，求出，计算的范围，即可得出结论；

（3）先讨论，易得满足题意；再讨论，得到，，根据为“紧密”数列，得到或，分别根据这两种情况，计算的范围，即可得出结果.

（1）若数列为“紧密”数列，则，且，解得：；

即的取值范围为；

（2）数列为“紧密”数列；理由如下：

数列的前项和，

当时，；

当时，，

又，即满足，

因此，

所以对任意，，

所以，

因此数列为“紧密”数列；

（3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，

当时，有，，

所以，，满足题意；

当时，，，因为为“紧密”数列，

所以，即或，

当时，，

，

所以，满足为“紧密”数列；

当时，，不满足为“紧密”数列；

综上，实数的取值范围是.