Question

【题目】已知，，其中是自然对数的底数，.

（1）当时，证明：；

（2）是否存在实数，使的最小值为3，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在实数.

【解析】

（1）有题意不等式转化为恒成立，先求出f（x）的最小值，令h（x）＝，x∈[﹣e，0），求导得出函数h（x）的最大值，从而得出结论；

（2）对求导，通过讨论a的范围，求出f（x）的最小值，即可求出a的值．

（1）由题意可知，所证不等式为，，

因为，

所以当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增.

所以在上有唯一极小值，即在上的最小值为1；

令，，则，

当时，，故在上单调递减，

所以

所以当时，

（2）假设存在实数，使的最小值为3，

①若，由于，则，

所以函数在上是增函数，

所以，解得与矛盾，舍去.

②若，则当时，，此时是减函数，

当时，，此时是增函数，

所以，解得.

综上①②知，存在实数，使的最小值为3.